高等数学（理）（615）考试大纲

科目： 高等数学（理）（615）

命题院系： 数学与计算机学院

一、考试总体要求

本考试大纲适用于报考广东海洋大学研究生入学考试科目为高等数学（理）（615）。考试内容包括高等数学和线性代数两部分，其中高等数学部分包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程等内容，线性代数部分包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等内容。重点考查相关的基本概念、主要理论、逻辑推导、计算及应用的掌握程度。

二、考试内容和考试要求

（一）高等数学部分（60%-70%）

1. 数列极限的性质及四则运算法则、初等函数的概念、连续函数的性质、初等函数的连续性。

2. 两个重要极限、极限存在准则。

3. 导数、微分的概念及运算法则、函数的可微性和连续性、导数的四则运算、复合函数求导、高阶导数的概念和计算。

4. 泰勒公式、麦克劳林公式，会写皮亚诺余项和拉格朗日余项。

5. 微分在近似计算和误差估计中的应用。

6. 罗尔定理、拉格朗日微分中值定理、柯西中值定理，函数极值的概念、判断函数单调性与极值的方法、函数最值/凹凸性/拐点的求法。

7. 根据函数的微分性质描绘函数图像。

8. 不定积分的概念、原函数与不定积分的关系。

9. 不定积分的基本公式、不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法、分部积分法。

10. 定积分的概念、性质和定积分存在的必要条件及充分条件。

11. 掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法。

12. 定积分在几何上的应用（微元法、平面区域的面积、平面曲线的弧长、利用截面面积计算立体体积、旋转体的侧面积等）。

13. 定积分在物理上的应用（变力做功、液体静压力、引力、平均值）。

14. 求解可分离变量的微分方程、一阶齐次、非齐次线性微分方程、可降阶的微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程。

15. 向量的运算、常用平面方程和直线方程、点到平面和直线的距离的计算方法、直线与直线和平面的交角的计算方法。

16. 两个向量垂直和平行的条件、曲面方程和空间曲线方程的概念、常用二次曲面方程及其图形、空间曲线的参数方程和一般方程。

17. 多元函数全微分和偏导数的求法、高阶偏导数的计算、多元函数极值存在的必要条件。

18. 二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域连续函数的性质、隐函数存在定理、空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线、二元函数的二阶泰勒公式。

19. 直角坐标和极坐标下二重积分的计算。

20. 重积分的性质、二重积分的中值定理。

21. 对坐标的曲线积分、对弧长的曲线积分的计算，格林公式、积分与路径无关。

22. 对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分的计算，高斯公式和斯托克斯公式。

23. 常数项级数敛散性的判断方法、级数的基本性质及收敛的必要条件、交错级数的莱布尼茨判别法。

24. 幂级数收敛半径和收敛区间的求法，幂级数和函数的计算，幂级数的间接展开法。

（二）线性代数部分(30%-40%)

1. 行列式的性质、行列式的计算，行列式Laplace展开，Cram法则。

2. 矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件。

3. 矩阵的线性运算、乘法、转置，掌握逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩的求法。

4. 向量的线性组合、向量组线性相关、线性无关性质和判别法，初等变换、向量组的等价，求最大线性无关组及向量组的秩。

5．基变换、规范正交基、正交矩阵，线性无关向量组正交规范化的施密特方法。

6. 齐次线性方程组有非零解的充要条件，解的性质，求齐次线性方程组基础解系、通解。

7. 非齐次线性方程组有解的充要条件，解的性质，求非齐次线性方程组的通解。

8．矩阵特征值和特征向量的概念和性质、相似矩阵的概念和性质。

9. 求矩阵特征值和特征向量、实对称矩阵的对角化，二次型化标准型。

三、考试基本题型

主要考试题型： 填空题、选择题、计算题、证明题、应用题，卷面满分为150分。

四、指定参考书目

1、《高等数学》，同济大学数学系，高等教育出版社，第七版

2、《线性代数》，同济大学数学系，高等教育出版社，第六版